یادداشت محمدرضا شمس اشکذری

        پس از اینکه با گسترش شاخه‌های مختلف ریاضیات، در قرن نوزدهم، تناقض‌های عجیب و غریبی در دل ریاضیات پیدا شد، تلاش‌های بسیار انجام شد تا مبانی ریاضیات تا جایی که ممکن است دقیق‌تر و اصولی‌تر تعریف شود و نظامی یکپارچه و منسجم برای ریاضیات فراهم آید.

ایده‌آل چیزی بود مانند هندسه اقلیدسی که در آن ادعا می‌شد که با پنج اصل اقلیدس، هر حکم هندسی را می‌شود اثبات کرد. البته این هیلبرت بود که توانست نظامی اصل‌بنیاد و تمام برای هندسه طراحی کند (۱۸۹۹). تمام به این معنا که هر گزاره صادقی در این نظام، توسط اصل‌های آن قابلیت اثبات داشته باشد.

این خیلی خوب بود و ریاضی‌دان‌ها دوست داشتند برای شاخه‌های مختلف ریاضی و اصلا کل ریاضیات، نظامِ اصل‌بنیادِ تمام داشته باشند. در همین راستا راسل و وایتهد اثر سه جلدی مفصلی با نام پرینکیپا ماتماتیکا نوشتند (۱۹۱۳) که کوشیدند تا به کمک منطق صوری پایه‌هایی محکم برای ریاضیات بنا نهند.

عالی بود. همه چیز به نظر تمام شده بود و مشکلی نبود. تا اینکه کورت گودل جوان، از دل این بنای باشکوه و عظیم، قضایای ناتمامیت را درآورد (۱۹۳۱). بزرگانی مبهوت شدند، آرزوهایی بر باد رفت و زمانه دگر گشت.

(خطر سادگی و غیردقیق بودن)
حال این دو قضیه چه بودند؟ قضیه اول، این بود که در هر دستگاه ریاضی که تا حد خوبی قوی باشد، گزاره‌ی درستی وجود دارد که اثبات‌پذیر نیست. قضیه دوم هم این بود که در هیچ نظام منطقی مربوط به ریاضیات، نمی‌توان سازگاری را با زبان خود آن نظام اثبات کرد. سازگاری هم یعنی یک گزاره و نقیض آن، با هم اثبات‌پذیر نباشند.

در ۱۹۵۸ نیگل و نیومان سعی کردند مسأله‌ی پیش روی گودل و اثبات او برای قضیه اول ناتمامیت را به زبان ساده بازنویسی کنند که نتیجه آن کتابی شد به نام «اثبات گودل». کتاب حاضر ویرایش شده جدیدتر همان کتاب است به اضافه چند مقاله در مورد زندگی گودل و ارتباط او با اینشتین.

به نظرم کارهای بهتر هم وجود دارند ولی در مجموع، برای من کتاب خوبی بود تا ملایم این مباحث را مرور کنم. اگر با منطق ریاضی آشنا هستید و قصد دارید مواجهه‌ی دوستانه‌ای با گودل داشته باشید، این کتاب انتخاب خوبی است. اگر هم با منطق ریاضی آشنا نیستید، شاید طرح مسأله در بخش‌های آغازین کتاب یا بخش دوم که درباره زندگی گودل و ارتباط او با اینشتین هست، برایتان جالب باشد.

برای گام‌های بعدی یادداشت‌های Quanta Magazine، آثار اسمولیان و ویگدرسون و درسنامه‌های دکتر محسن خانی می‌توانند سودبخش باشند.